東京都都立高入試数学で一番やっかいな立体図形の問題ですね（＾＾
さて、（問1）です。
点Qと頂点Cと頂点Dを結ぶと切断断面図の三角形バージョンができます。上から見ると、底辺は正三角形なので、点Pが中点ならば二等辺三角形になります。
断面図三角形（QCD）の底辺（CD）は６ｃｍで問題ありませんが、QCとQD（２つとも同じ）の長さですね。
横から三角形ABCを見ると、BQが３ｃｍ、ということは3cm、6cmと斜辺ｘcmの直角三角形を三平方の定理で導きます。
３の2乗＋６の2乗＝ｘの2乗
これを解いて、ｘ＝３√５
次は、切断三角形QCDを半分に切ります。QPですね。 すると、角CPQは直角なので、直角三角形の出来上がり。また、三平方の定理登場。
QPをｙとして、３√５の2乗＋３の2乗＝ｙの2乗
これをｙについて解くと、+-6 よって６ｃｍが正解
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問2）
さあ、最難題です。頭の中で図形をいろいろ回したり、、、そのうち、わけわかめになります。。。
ひとまず、裏紙で作ってみました。
問題に書いてある向きですとこんな感じ。↑↑
↑ 立てた状態で反対側から見た感じ
で、底辺を面ABCにして斜め上から撮りました。
頂点Aを左にして横にすると、2等辺三角形（面ACD）を見るため、点Rの高さが図れません。うーん、と思い、紙で立体を作成して反対向き（上記図）にしたら「おー！」となりました。
面BDAは直角三角形ですので、ここで中点連結定理が使えます。 ただ、この面をそのまま使ってはいけません。
高さは頂点Dから辺BCの中点に下ろした線になります。まずはこの長さを出します。（Zとします）
３の2乗＋Zの2乗＝６の2乗
これを解いて、Z＝３√３
で、点RはADの中点なので、その半分。３√３/2となります。これで、三角錐の高さが出ました。
あとは、底辺（三角形AQP）を求めます。これは簡単なので、解説省略。
計算すると、底辺は24
よって、24×2分の3√3×1/3（推だから）＝12√3
はーー、やっと、めでたしめでたし（＾＾
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